MATEMATYKA 2020 CZERWIEC MATURA STARA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Wartość wyrażenia x” —6x+9 dla x= 43+3 jest równa A. 1 B. 3 C. 1+243 D. 1-243
Zadanie 2. (I pkt) 50 440 Liczba jest równa 36 A. 6” B. 6* c. 27.3” D. 27.3”
Zadanie 3. (I pkt) Liczba logs v125 jest równa 2 A. — B. 2 3 b l w
Zadanie 4. (I pkt) Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową cenę y należy podnieść o A. 25% B. 20% Cc. 15% D. 12%
Zadanie 5. (I pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3 (1 —x)>2(3x- 1) —12x jest przedział „(żm] af) cf) a (oj
Zadanie 6. (I pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania x (x -3)(x+ 2) =() jest równa A. 0 B. 1 Cc 2
Informacja do zadań 7.-9. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem /f(x)=a(x-1)(x—3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1). Zadanie 7. (I pkt) Współczynnik a we wzorze funkcji / jest równy A. 1 B. 2 c 2 D. -1
Informacja do zadań 7.-9. Funkcja kwadratowa / jest określona wzorem /(x)=a(x-1)(x—3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1). Zadanie 8. (I pkt) Największa wartość funkcji f w przedziale (1, 4) jest równa A. -3 B. 0 c. 1 D. 2
Informacja do zadań 7.-9. Funkcja kwadratowa / jest określona wzorem /(x)=a(x-1)(x—3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1). Zadanie 9. (I pkt) Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji / jest prosta o równaniu A. x=l B. x=2 C. 5=l D. y=2
Zadanie 10. (I pkt) Równanie x(x-2)=(x—2) w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=2. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=0. D. ma dwa różne rozwiązania: x=li x=2.
Zadanie 11. (I pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej / określonej wzorem / (x) =ax+b. Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji / spełniają zależność a+b>0 A B. a+b=0 C. a:b>0 D a:b<0
Zadanie 12. (I pkt) Funkcja f jest określona wzorem f(x) =4" +1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba f >] jest równa I 3 A. — B. — GC. 3 D. 17 2 2
Zadanie 13. (I pkt) Proste o równaniach y=(m—2)x oraz y= jx +7 są równoległe. Wtedy p. 11 10 m=— A. Mone B. m=— C. D. m=— 4 3 4 3
Zadanie 14. (I pkt) Ciąg (a,) jest określony wzorem a, =2n* dla n>1. Różnica a; —a, jest równa A. 4 B. 20 Cc. 36 D. 18
Zadanie 15. (I pkt) W ciągu arytmetycznym (a, ) , określonym dla n>1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a, + a, +a, +a, jest równa A. —42 B. —36 C. -18 D. 6
Zadanie 16. (I pkt) Punkt A= (4. -1) należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem /(x)=3x+b. Wynika stąd, że A. b=2 B. b=l C. b=—l D. b=
Zadanie 17. (I pkt) Punkty 4, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118? (zobacz rysunek). B 5 Miara kąta ABC jest równa A. 59 B. 48 c. 62" D. 317
Zadanie 18. (I pkt) Prosta przechodząca przez punkty 4 =(3,— 2) 1iB= (—1, 6) jest określona równaniem A. y=-2x+4 B. y=-—2x-8 C. y=2x+8 D. y=2x-4
Zadanie 19. (I pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych 2 i 8 (zobacz rysunek). Wyrażenie 2cosa —sin 8 jestrówne P> A. 2sinB B. cosa c. 0 D. 2 B PM
Zadanie 20. (I pkt) Punkt B jest obrazem punktu 4=(—3,5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa A. 2434 B. 8 C. 434 D. 12
Zadanie 21. (I pkt) Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają? A. 10 B. I5 c. 20 D. 25
Zadanie 22. (I pkt) Pole prostokąta ABCD = równe 90. Na bokach AB i CD wybrano — odpowiednio — punkty P i R, [AP|__ |CR| takie, że = > (zobacz rysunek). D R C |PB| |RD| 2 Pole czworokąta APCR jest równe A. 36 B. 40 c. 54 D. 60
Zadanie 23. (I pkt) Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem A. a=7 B. a=6 C. a=5 D. a=4
Zadanie 24. (I pkt) Dany jest sześcian ABCDEFGH. Sinus kąta a nachylenia a HB tego sześcianu do płaszczyzny podstawy ABCD (zobacz rysunek) jest równy si >|S >| >| >|
Zadanie 25. (I pkt) Dany jest stożek o objętości 187 , którego przekrojem osiowym jest trójkąt ABC (zobacz rysunek). Kąt CBA jest kątem nachylenia tworzącej / tego stożka do płaszczyzny jego podstawy. Tangens kąta CBA jest równy 2. 2 Wynika stąd, że wysokość h tego stożka jest równa A. 12 B. 6 i Cc. 4 D. 2
Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność 2(x-1)(x+3)>x—1.
Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x —9x —4x+36=0.
Zadanie 28. (2 pkt) Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a—2b)+2b* >0.
Zadanie 29. (2 pkt) Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE | = śjcp| . Punkt F' leży na boku BC iodcinek EF" jest prostopadły do BC (zobacz rysunek). Ę Wykaż, że |CF|= GCB].
Zadanie 30. (2 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek — od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 4 polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Zadanie 31. (2 pkt) 2sina+3cosa Kąt a jest ostry 1 spełnia warunek ——— =4. Oblicz tangens kąta a. cosa
Zadanie 32. (4 pkt) Dany jest kwadrat ABCD, w którym A= [5 -5]. Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta . . - . "= . w prostej o równaniu y= ą* . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.
Zadanie 33. (4 pkt) Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a, ) , określonego dla n > 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a, —5a, +a, =0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału (292, 302).
Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Sciana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Wj . Oblicz objętość tego ostrosłupa. S ZaszwĄ | 4 B
MATEMATYKA 2020 CZERWIEC MATURA STARA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Wartość wyrażenia x” —6x+9 dla x= 43+3 jest równa A. 1 B. 3 C. 1+243 D. 1-243
Zadanie 2. (I pkt) 50 440 Liczba jest równa 36 A. 6” B. 6* c. 27.3” D. 27.3”
Zadanie 3. (I pkt) Liczba logs v125 jest równa 2 A. — B. 2 3 b l w
Zadanie 4. (I pkt) Cenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową cenę y należy podnieść o A. 25% B. 20% Cc. 15% D. 12%
Zadanie 5. (I pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3 (1 —x)>2(3x- 1) —12x jest przedział „(żm] af) cf) a (oj
Zadanie 6. (I pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania x (x -3)(x+ 2) =() jest równa A. 0 B. 1 Cc 2
Informacja do zadań 7.-9. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem /f(x)=a(x-1)(x—3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1). Zadanie 7. (I pkt) Współczynnik a we wzorze funkcji / jest równy A. 1 B. 2 c 2 D. -1
Informacja do zadań 7.-9. Funkcja kwadratowa / jest określona wzorem /(x)=a(x-1)(x—3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1). Zadanie 8. (I pkt) Największa wartość funkcji f w przedziale (1, 4) jest równa A. -3 B. 0 c. 1 D. 2
Informacja do zadań 7.-9. Funkcja kwadratowa / jest określona wzorem /(x)=a(x-1)(x—3). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2,1). Zadanie 9. (I pkt) Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji / jest prosta o równaniu A. x=l B. x=2 C. 5=l D. y=2
Zadanie 10. (I pkt) Równanie x(x-2)=(x—2) w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=2. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=0. D. ma dwa różne rozwiązania: x=li x=2.
Zadanie 11. (I pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej / określonej wzorem / (x) =ax+b. Współczynniki a oraz b we wzorze funkcji / spełniają zależność a+b>0 A B. a+b=0 C. a:b>0 D a:b<0
Zadanie 12. (I pkt) Funkcja f jest określona wzorem f(x) =4" +1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba f >] jest równa I 3 A. — B. — GC. 3 D. 17 2 2
Zadanie 13. (I pkt) Proste o równaniach y=(m—2)x oraz y= jx +7 są równoległe. Wtedy p. 11 10 m=— A. Mone B. m=— C. D. m=— 4 3 4 3
Zadanie 14. (I pkt) Ciąg (a,) jest określony wzorem a, =2n* dla n>1. Różnica a; —a, jest równa A. 4 B. 20 Cc. 36 D. 18
Zadanie 15. (I pkt) W ciągu arytmetycznym (a, ) , określonym dla n>1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma a, + a, +a, +a, jest równa A. —42 B. —36 C. -18 D. 6
Zadanie 16. (I pkt) Punkt A= (4. -1) należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem /(x)=3x+b. Wynika stąd, że A. b=2 B. b=l C. b=—l D. b=
Zadanie 17. (I pkt) Punkty 4, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118? (zobacz rysunek). B 5 Miara kąta ABC jest równa A. 59 B. 48 c. 62" D. 317
Zadanie 18. (I pkt) Prosta przechodząca przez punkty 4 =(3,— 2) 1iB= (—1, 6) jest określona równaniem A. y=-2x+4 B. y=-—2x-8 C. y=2x+8 D. y=2x-4
Zadanie 19. (I pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych 2 i 8 (zobacz rysunek). Wyrażenie 2cosa —sin 8 jestrówne P> A. 2sinB B. cosa c. 0 D. 2 B PM
Zadanie 20. (I pkt) Punkt B jest obrazem punktu 4=(—3,5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB jest równa A. 2434 B. 8 C. 434 D. 12
Zadanie 21. (I pkt) Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają? A. 10 B. I5 c. 20 D. 25
Zadanie 22. (I pkt) Pole prostokąta ABCD = równe 90. Na bokach AB i CD wybrano — odpowiednio — punkty P i R, [AP|__ |CR| takie, że = > (zobacz rysunek). D R C |PB| |RD| 2 Pole czworokąta APCR jest równe A. 36 B. 40 c. 54 D. 60
Zadanie 23. (I pkt) Cztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem A. a=7 B. a=6 C. a=5 D. a=4
Zadanie 24. (I pkt) Dany jest sześcian ABCDEFGH. Sinus kąta a nachylenia a HB tego sześcianu do płaszczyzny podstawy ABCD (zobacz rysunek) jest równy si >|S >| >| >|
Zadanie 25. (I pkt) Dany jest stożek o objętości 187 , którego przekrojem osiowym jest trójkąt ABC (zobacz rysunek). Kąt CBA jest kątem nachylenia tworzącej / tego stożka do płaszczyzny jego podstawy. Tangens kąta CBA jest równy 2. 2 Wynika stąd, że wysokość h tego stożka jest równa A. 12 B. 6 i Cc. 4 D. 2
Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność 2(x-1)(x+3)>x—1.
Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x —9x —4x+36=0.
Zadanie 28. (2 pkt) Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a—2b)+2b* >0.
Zadanie 29. (2 pkt) Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE | = śjcp| . Punkt F' leży na boku BC iodcinek EF" jest prostopadły do BC (zobacz rysunek). Ę Wykaż, że |CF|= GCB].
Zadanie 30. (2 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek — od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 4 polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Zadanie 31. (2 pkt) 2sina+3cosa Kąt a jest ostry 1 spełnia warunek ——— =4. Oblicz tangens kąta a. cosa
Zadanie 32. (4 pkt) Dany jest kwadrat ABCD, w którym A= [5 -5]. Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta . . - . "= . w prostej o równaniu y= ą* . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz pole kwadratu ABCD.
Zadanie 33. (4 pkt) Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a, ) , określonego dla n > 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 6a, —5a, +a, =0. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału (292, 302).
Zadanie 34. (5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Sciana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Wj . Oblicz objętość tego ostrosłupa. S ZaszwĄ | 4 B