MATEMATYKA 2019 MAJ MATURA STARA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Liczba log J5 2 jest równa A. 2 B. 4 LB NW |
Zadanie 2. (I pkt) Liczba naturalna n = w zapisie dziesiętnym ma A. l4cyfr B. 15 cyfr C. lócyfr D. 30 cyfr KE
Zadanie 3. (I pkt) W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o I punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1% B. 25% C. 33% D. 75%
Zadanie 4. (I pkt) I 1 I Równość 4 + E +—=l| jest prawdziwa dla a 11 8 a=— . 20 9 oo| o Il 20 11
Zadanie 5. (I pkt) ; : ; : ; , ax+y=4 Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań dla —2x+3y=2a A. a=-l B. a=l C. a= D. a=2
Zadanie 6. (I pkt) (x-1)(x+2) x-3 z ; A. ma trzy różne rozwiązania: x=l x=3,x=—2. Równanie =0 y 4 ; ; B. ma trzy różne rozwiązania: x=—1l, x=—3,x=2. C. ma dwa różne rozwiązania: x = l, x =—2. D. ma dwa różne rozwiązania: x =—1, x=2.
Zadanie 7. (I pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=3(x+1)- 643 jest liczba A. 3-63 B. 1-63 Cc. 243—1 D. NB --
Informacja do zadań 8.—10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej /f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, —4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zadanie 8. (I pkt) Zbiorem wartości funkcji / jest przedział A. (=, 0) B. (0,4) C. (-4, too) D. (4,+05)
Informacja do zadań 8.—10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej /f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, —4). Liczby 0 1 4 to miejsca zerowe funkcji /. Zadanie 9. (I pkt) Największa wartość funkcji / w przedziale (1, 4) jest równa A. -3 B. —4 C. 4 D. 0
Informacja do zadań 8.—10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, —4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zadanie 10. (I pkt) Osią symetrii wykresu funkcji f/ jest prosta o równaniu A. y=-4 B. x=—4 Ć. p=ź D. aj Il N
Zadanie 11. (I pkt) W ciągu arytmetycznym (a, ) , określonym dla n > 1, dane są dwa wyrazy: a, =7 i a; =—49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. —168 B. —189 C. —21 D. 42
Zadanie 12. (I pkt) Dany jest ciąg geometryczny (a,), określony dla m>1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są "= : . as l . : dodatnie i spełniony jest warunek Ź= g” Iloraz tego ciągu jest równy 3 1 1 = B. — Cc. 3 D. 43 3 NZ A.
Zadanie 13. (I pkt) : , 4 Sinus kąta ostrego a jest równy ch Wtedy 3 A. BAZE B. OKI 2 c. ZIECA D. cosa=— 4 5 25 5
Zadanie 14. (I pkt) Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę a. C E Zatem NA A. a=307 B. a<307 Cc. «>45* D. 2=45 /Ń NL B
Zadanie 15. (I pkt) Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach 4 i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek). Wtedy „ A. |OK|=6 K B. |OK|=8 c. |OK|=10 D. |OK|=12
Zadanie 16. (I pkt) Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150”. Pole tego rombu jest równe A. 8 B. 12 Cc. 843 D. 16
Zadanie 17. (I pkt) Proste o równaniach y = (2m + 2)x — 2019 oraz y=(3m—3)x+ 2019 są równoległe, gdy A. m=—l B m=0 C. m=l D. m=5
Zadanie 18. (I pkt) Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=—4x+1 i przechodzi przez punkt P= (3. 0), gdy A. a=-4ib=—2 B. a= C a=-4ib=2 D. a=
Zadanie 19. (I pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty 4=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A. g(x)=x+4 B. g(x)=x-4 C. g(x)=-x-4 D. g(x)=-x+4
Zadanie 20. (I pkt) Dane są punkty o współrzędnych A=(—2,5) oraz B=(4,—1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12 B. 6 c. 6/2 D. 24/6
Zadanie 21. (I pkt) Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy 45 245 2 A. NN|Ł
Zadanie 22. (I pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta SAC jest równa A. 907 B. 759 c. 607 D. 45 LC A B
Zadanie 23. (I pkt) Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem A. a=7 B. a=12 C. a=|14 D. a=20
Zadanie 24. (I pkt) Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12 B. 36 Cc. 162 D. 243
Zadanie 25. (I pkt) W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z, pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. B. — c. — D. — 8 5 40 35
Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż równanie x —5x —9x+45=0.
Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż nierówność 3x —16x+16>0.
Zadanie 28. (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a 1 b prawdziwa jest nierówność 3a” —2ab+3b 20.
Zadanie 29. (2 pkt) Dany jest okrąg o środku w punkcie S' i promieniu 7. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i $ poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i £ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa a, to miara kąta AŚD jest równa 3a.
Zadanie 30. (2 pkt) Ze zbioru liczb 1, 2,3,4,5) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Zadanie 31. (2 pkt) W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30” (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu. D Ć Ex 2
Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny (a,) jest określony dla każdej liczby naturalnej n>l. Różnicą tego ciągu jest liczba r =—4, a Średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a,, A,, Az, A,, A, a,, jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której a, =—78.
Zadanie 33. (4 pkt) Dany jest punkt A =(—18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Zadanie 34. (5 pkt) Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt a jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta a. S zzszzi A 6 B
MATEMATYKA 2019 MAJ MATURA STARA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Liczba log J5 2 jest równa A. 2 B. 4 LB NW |
Zadanie 2. (I pkt) Liczba naturalna n = w zapisie dziesiętnym ma A. l4cyfr B. 15 cyfr C. lócyfr D. 30 cyfr KE
Zadanie 3. (I pkt) W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o I punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1% B. 25% C. 33% D. 75%
Zadanie 4. (I pkt) I 1 I Równość 4 + E +—=l| jest prawdziwa dla a 11 8 a=— . 20 9 oo| o Il 20 11
Zadanie 5. (I pkt) ; : ; : ; , ax+y=4 Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań dla —2x+3y=2a A. a=-l B. a=l C. a= D. a=2
Zadanie 6. (I pkt) (x-1)(x+2) x-3 z ; A. ma trzy różne rozwiązania: x=l x=3,x=—2. Równanie =0 y 4 ; ; B. ma trzy różne rozwiązania: x=—1l, x=—3,x=2. C. ma dwa różne rozwiązania: x = l, x =—2. D. ma dwa różne rozwiązania: x =—1, x=2.
Zadanie 7. (I pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=3(x+1)- 643 jest liczba A. 3-63 B. 1-63 Cc. 243—1 D. NB --
Informacja do zadań 8.—10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej /f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, —4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zadanie 8. (I pkt) Zbiorem wartości funkcji / jest przedział A. (=, 0) B. (0,4) C. (-4, too) D. (4,+05)
Informacja do zadań 8.—10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej /f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, —4). Liczby 0 1 4 to miejsca zerowe funkcji /. Zadanie 9. (I pkt) Największa wartość funkcji / w przedziale (1, 4) jest równa A. -3 B. —4 C. 4 D. 0
Informacja do zadań 8.—10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, —4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zadanie 10. (I pkt) Osią symetrii wykresu funkcji f/ jest prosta o równaniu A. y=-4 B. x=—4 Ć. p=ź D. aj Il N
Zadanie 11. (I pkt) W ciągu arytmetycznym (a, ) , określonym dla n > 1, dane są dwa wyrazy: a, =7 i a; =—49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. —168 B. —189 C. —21 D. 42
Zadanie 12. (I pkt) Dany jest ciąg geometryczny (a,), określony dla m>1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są "= : . as l . : dodatnie i spełniony jest warunek Ź= g” Iloraz tego ciągu jest równy 3 1 1 = B. — Cc. 3 D. 43 3 NZ A.
Zadanie 13. (I pkt) : , 4 Sinus kąta ostrego a jest równy ch Wtedy 3 A. BAZE B. OKI 2 c. ZIECA D. cosa=— 4 5 25 5
Zadanie 14. (I pkt) Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę a. C E Zatem NA A. a=307 B. a<307 Cc. «>45* D. 2=45 /Ń NL B
Zadanie 15. (I pkt) Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach 4 i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek). Wtedy „ A. |OK|=6 K B. |OK|=8 c. |OK|=10 D. |OK|=12
Zadanie 16. (I pkt) Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150”. Pole tego rombu jest równe A. 8 B. 12 Cc. 843 D. 16
Zadanie 17. (I pkt) Proste o równaniach y = (2m + 2)x — 2019 oraz y=(3m—3)x+ 2019 są równoległe, gdy A. m=—l B m=0 C. m=l D. m=5
Zadanie 18. (I pkt) Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=—4x+1 i przechodzi przez punkt P= (3. 0), gdy A. a=-4ib=—2 B. a= C a=-4ib=2 D. a=
Zadanie 19. (I pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty 4=(0,4) i B=(2,2). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A. g(x)=x+4 B. g(x)=x-4 C. g(x)=-x-4 D. g(x)=-x+4
Zadanie 20. (I pkt) Dane są punkty o współrzędnych A=(—2,5) oraz B=(4,—1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12 B. 6 c. 6/2 D. 24/6
Zadanie 21. (I pkt) Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy 45 245 2 A. NN|Ł
Zadanie 22. (I pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta SAC jest równa A. 907 B. 759 c. 607 D. 45 LC A B
Zadanie 23. (I pkt) Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem A. a=7 B. a=12 C. a=|14 D. a=20
Zadanie 24. (I pkt) Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12 B. 36 Cc. 162 D. 243
Zadanie 25. (I pkt) W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z, pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. B. — c. — D. — 8 5 40 35
Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż równanie x —5x —9x+45=0.
Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż nierówność 3x —16x+16>0.
Zadanie 28. (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a 1 b prawdziwa jest nierówność 3a” —2ab+3b 20.
Zadanie 29. (2 pkt) Dany jest okrąg o środku w punkcie S' i promieniu 7. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i $ poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i £ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa a, to miara kąta AŚD jest równa 3a.
Zadanie 30. (2 pkt) Ze zbioru liczb 1, 2,3,4,5) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Zadanie 31. (2 pkt) W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30” (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu. D Ć Ex 2
Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny (a,) jest określony dla każdej liczby naturalnej n>l. Różnicą tego ciągu jest liczba r =—4, a Średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a,, A,, Az, A,, A, a,, jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której a, =—78.
Zadanie 33. (4 pkt) Dany jest punkt A =(—18,10). Prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Zadanie 34. (5 pkt) Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt a jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta a. S zzszzi A 6 B