MATEMATYKA 2014 CZERWIEC MATURA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ? A. da=x B. |-x|=x C. x-i=x-1 D. J(x+t) =|xei]
Zadanie 2. (I pkt) Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12 : 8 : 3 : 2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora? A. 12% B. 32% C. 48% D. 52%
Zadanie 3. (I pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a—b—1 jest równe A. (a-1)(b-1) B. (a+1)(b-1) C. (a-1)(b+1) D. (a+1)(b+1)
Zadanie 4. (I pkt) Na prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K= (1. 0) i ŻE (0, 1) „ Wynika stąd, że A. a=-lib=l B. a=lib=<-l C. a==lib==l D. a=lib=l
Zadanie 5. (I pkt)
Dane są liczby: a= log, >. b=log.3, c= log Który z poniższych warunków jest
prawdziwy?
A. c
Zadanie 6. (I pkt) Funkcja f/ jest określona wzorem f/(x)=3x-4 dla każdej liczby z przedziału (2,2). Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział A. (-10,2) B. (-10,2) c. (2,10) D. (2,10)
Zadanie 7. (I pkt) Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f (x)=3x' +7x+c jest liczba za Wówczas c jest równe A. 0 B. I Cc. —98 D. 98
Zadanie 8. (I pkt) 27 26 Liczba ——— jest równa 376 KAŻ A. I B. 3
Zadanie 9. (I pkt) Dane są wielomiany: W(x)=2x-1, P(x)=x +x i Q(x)=(1-x)(x+1). Stopień wielomianu W (x):P(x)-Q(x) jest równy A. 3 B. 6 C. 7 D. 12
Zadanie 10. (I pkt) Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y =(x+2)(x-4) jest równa A. —8 B. -—4 GC I D. 2
Zadanie 11. (I pkt) W ciągu geometrycznym (a,), określonym dla m > 1, wyraz a, =5, natomiast iloraz q=—2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. —1705 B. —1023 c. 1705 D. S115
Zadanie 12. (I pkt) W ciągu arytmetycznym (a,„), określonym dla n>l, dane są dwa wyrazy: a, =ll ia,=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. 3% B. 40 Cc. 13 D. 20
Zadanie 14. (1 pkt) W trapezie KLMN, w którym KL || MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN | =3, |KN | = 443 , |XKLM | = 60”. Pole tego trapezu jest równe N M K L A. 4423 B. 1043 Cc. 2043 D. 24+63
Zadanie 15. (I pkt) Srednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem Średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy A. 20 pkt B. 30 pkt C. 50 pkt D. 60 pkt
Zadanie 16. (I pkt) W sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F' dwie przekątne sąsiednich ścian, F7 oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa K A. 302 B. 452 Cc. 60? D. 90?
Zadanie 17. (I pkt) Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa ZAC? gu) A. 307 B. 60? c. 909 D. 120?
Zadanie 18. (I pkt) Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy 4108 A. 4108 B. > Cc. 15 D. ER
Zadanie 19. (1 pkt) Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych (1. 2, 3, 4, 1,30) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe i B. — c. p. — A, — 30 30 30 30
Zadanie 20. (Z pkóń) W trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz / (zobacz rysunek) w taki sposób, że |II | =] i |GI | =3. Wtedy długość odcinka F7 jest równa gi H I
Zadanie 21. (I pkt) Na planie miasta, narysowanym w skali I: 20000, park jest prostokątem o bokach 2 cm i 5 cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię A. 20000m* B. 40000m* C. 200000m* D. 400000m*
Zadanie 22. (I pkt) Proste o równaniach: y=mx—5 oraz y= (1 — 2m)x + 7 są równoległe, gdy A. m=—l B. "EL c. m D. m=l ą ą
Zadanie 23. (I pkt) Punkty M= (2.0) i N= (0,—2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg? A. (x-2) +(y-2) =4 B. (x-2) +(y+2) =4 C. (x+2) +(y+2) =4 D. (x+2) +(y-2) =4
Zadanie 24. (I pkt) Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96z. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe A. l6z B. 247 Cc. 327 D. 487
Zadanie 25. (I pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. 3 B. 9 GC. 27 D. 108
Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność (2x — 3)(3 — x) >0.
Zadanie 27. (2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność 2 a+b a” +b” < . 2 2
Zadanie 28. (2 pkt) | 3 : " |. SIAQ Cosa Kąt a jest ostry orazcosa = LJ Oblicz wartość wyrażenia + cosa l+sina
Zadanie 29. (2 pkt) Liczby 6, 2x+4, x +26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę 7 tego ciągu.
Zadanie 30. (2 pkt) Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K=£4, -1, 1, 5,631 ZL=4-3, —2, 2, 3, 4). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Zadanie 31. (2 pkt) Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD| = |DE | „ Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny. s
Zadanie 32. (4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 492. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60”. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 33. (5 pkt) Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, zjaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz Średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Zadanie 34. (4 pkt) Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie 4=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x-y-3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
MATEMATYKA 2014 CZERWIEC MATURA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x ? A. da=x B. |-x|=x C. x-i=x-1 D. J(x+t) =|xei]
Zadanie 2. (I pkt) Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek 12 : 8 : 3 : 2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora? A. 12% B. 32% C. 48% D. 52%
Zadanie 3. (I pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab+a—b—1 jest równe A. (a-1)(b-1) B. (a+1)(b-1) C. (a-1)(b+1) D. (a+1)(b+1)
Zadanie 4. (I pkt) Na prostej o równaniu y=ax+b leżą punkty K= (1. 0) i ŻE (0, 1) „ Wynika stąd, że A. a=-lib=l B. a=lib=<-l C. a==lib==l D. a=lib=l
Zadanie 5. (I pkt) Dane są liczby: a= log, >. b=log.3, c= log Który z poniższych warunków jest prawdziwy? A. c<b<a B. b<c<a C. a<c<b D. c<a<b
Zadanie 6. (I pkt) Funkcja f/ jest określona wzorem f/(x)=3x-4 dla każdej liczby z przedziału (2,2). Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział A. (-10,2) B. (-10,2) c. (2,10) D. (2,10)
Zadanie 7. (I pkt) Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f (x)=3x' +7x+c jest liczba za Wówczas c jest równe A. 0 B. I Cc. —98 D. 98
Zadanie 8. (I pkt) 27 26 Liczba ——— jest równa 376 KAŻ A. I B. 3
Zadanie 9. (I pkt) Dane są wielomiany: W(x)=2x-1, P(x)=x +x i Q(x)=(1-x)(x+1). Stopień wielomianu W (x):P(x)-Q(x) jest równy A. 3 B. 6 C. 7 D. 12
Zadanie 10. (I pkt) Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y =(x+2)(x-4) jest równa A. —8 B. -—4 GC I D. 2
Zadanie 11. (I pkt) W ciągu geometrycznym (a,), określonym dla m > 1, wyraz a, =5, natomiast iloraz q=—2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. —1705 B. —1023 c. 1705 D. S115
Zadanie 12. (I pkt) W ciągu arytmetycznym (a,„), określonym dla n>l, dane są dwa wyrazy: a, =ll ia,=7. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. 3% B. 40 Cc. 13 D. 20
Zadanie 13. (I pkt) 2 2 . . 0. sa l-cos' a . ; Miara kąta a spełnia warunek: 0” <a <907. Wyrażenie —-----. jest równe E 3 sina sin”a A. 1 B. 2cos' a c. 2 D. 2sin” a
Zadanie 14. (1 pkt) W trapezie KLMN, w którym KL || MN, kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN | =3, |KN | = 443 , |XKLM | = 60”. Pole tego trapezu jest równe N M K L A. 4423 B. 1043 Cc. 2043 D. 24+63
Zadanie 15. (I pkt) Srednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem Średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy A. 20 pkt B. 30 pkt C. 50 pkt D. 60 pkt
Zadanie 16. (I pkt) W sześcianie EFGHIJKL poprowadzono z wierzchołka F' dwie przekątne sąsiednich ścian, F7 oraz FK (zobacz rysunek). Miara kąta IFK jest równa K A. 302 B. 452 Cc. 60? D. 90?
Zadanie 17. (I pkt) Punkt O jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta LKM jest równa ZAC? gu) A. 307 B. 60? c. 909 D. 120?
Zadanie 18. (I pkt) Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy 4108 A. 4108 B. > Cc. 15 D. ER
Zadanie 19. (1 pkt) Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych (1. 2, 3, 4, 1,30) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe i B. — c. p. — A, — 30 30 30 30
Zadanie 20. (Z pkóń) W trójkącie EFG bok EF ma długość 21. Prosta równoległa do boku EF przecina boki EG i FG trójkąta odpowiednio w punktach H oraz / (zobacz rysunek) w taki sposób, że |II | =] i |GI | =3. Wtedy długość odcinka F7 jest równa gi H I
Zadanie 21. (I pkt) Na planie miasta, narysowanym w skali I: 20000, park jest prostokątem o bokach 2 cm i 5 cm. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię A. 20000m* B. 40000m* C. 200000m* D. 400000m*
Zadanie 22. (I pkt) Proste o równaniach: y=mx—5 oraz y= (1 — 2m)x + 7 są równoległe, gdy A. m=—l B. "EL c. m D. m=l ą ą
Zadanie 23. (I pkt) Punkty M= (2.0) i N= (0,—2) są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg? A. (x-2) +(y-2) =4 B. (x-2) +(y+2) =4 C. (x+2) +(y+2) =4 D. (x+2) +(y-2) =4
Zadanie 24. (I pkt) Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa 96z. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe A. l6z B. 247 Cc. 327 D. 487
Zadanie 25. (I pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. 3 B. 9 GC. 27 D. 108
Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność (2x — 3)(3 — x) >0.
Zadanie 27. (2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność 2 a+b a” +b” < . 2 2
Zadanie 28. (2 pkt) | 3 : " |. SIAQ Cosa Kąt a jest ostry orazcosa = LJ Oblicz wartość wyrażenia + cosa l+sina
Zadanie 29. (2 pkt) Liczby 6, 2x+4, x +26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę 7 tego ciągu.
Zadanie 30. (2 pkt) Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: K=£4, -1, 1, 5,631 ZL=4-3, —2, 2, 3, 4). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Zadanie 31. (2 pkt) Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD| = |DE | „ Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny. s
Zadanie 32. (4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość 492. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60”. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 33. (5 pkt) Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, zjaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz Średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Zadanie 34. (4 pkt) Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie 4=(2,1) i B=(5,2). Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 2x-y-3=0. Oblicz współrzędne wierzchołka C.