Zadanie optymalizacyjne z funkcją kwadratową krok po kroku

Wybór zmiennej, zapis funkcji i dziedziny w zadaniu optymalizacyjnym. Odpowiedź na pytanie z treści.

Najważniejsze wzory i pojęcia

• Schemat rozwiązania: wybór zmiennej x → wyrażenie pozostałych wielkości przez x → funkcja f(x) i dziedzina D → wierzchołek paraboli → odpowiedź na pytanie z treści
• f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
• Wierzchołek W = (p, q): p = −b/(2a), q = −Δ/(4a), Δ = b² − 4ac
• Postać kanoniczna: f(x) = a(x − p)² + q
• Postać iloczynowa: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), p = (x₁ + x₂)/2
• a < 0: największa wartość w wierzchołku; a > 0: najmniejsza wartość w wierzchołku
• Na przedziale domkniętym ⟨m, n⟩ wartość największa i najmniejsza jest w wierzchołku (jeśli p ∈ ⟨m, n⟩) albo na końcach przedziału
• Przykład: prostokąt o obwodzie 36 cm, P(x) = x(18 − x), D = (0, 18), największe pole 81 cm² ma kwadrat 9 cm × 9 cm

Co zawiera lekcja

• Wprowadzenie: schemat rozwiązania zadania optymalizacyjnego w 5 krokach
• Przykłady: prostokąt o największym polu, wybieg przy murze, prostokąt pod prostą, cena biletu dająca największy przychód, wierzchołek poza dziedziną
• Wzory i typowe błędy
• Spójrz inaczej: miejsca zerowe, krok od środka, tabela wartości, przychód jako pole prostokąta
• Wizualizacje: od sytuacji do wykresu, dziedzina a wierzchołek
• Gra: prawda czy fałsz
• Generator zadań: wybór zmiennej, zapis funkcji, dziedzina, prostokąt, ogrodzenie, liczby, prostokąt pod prostą, przychód, ekstremum na przedziale