Wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej w przedziale

Ekstrema funkcji kwadratowej w przedziale. Sprawdzanie, czy wierzchołek należy do przedziału.

Najważniejsze wzory i pojęcia

• Wierzchołek paraboli W = (p, q): p = −b/(2a), q = −Δ/(4a) = f(p), Δ = b² − 4ac
• Postać kanoniczna f(x) = a(x − p)² + q, postać iloczynowa f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), p = (x₁ + x₂)/2
• Kandydaci na wartość najmniejszą i największą w przedziale ⟨m, n⟩: f(m), f(n) oraz f(p), gdy p ∈ ⟨m, n⟩
• a > 0 i p ∈ ⟨m, n⟩: wartość najmniejsza jest równa q, największa jest na końcu przedziału dalszym od p
• a < 0 i p ∈ ⟨m, n⟩: wartość największa jest równa q, najmniejsza jest na końcu przedziału dalszym od p
• p ∉ ⟨m, n⟩: funkcja jest w przedziale monotoniczna, obie wartości są na końcach przedziału

Co zawiera lekcja

• Wprowadzenie: wartość najmniejsza i największa w przedziale domkniętym, cztery typowe sytuacje, sposób postępowania
• Przykład 1: f(x) = x² − 4x + 1 w przedziale ⟨−1, 3⟩ (wierzchołek w przedziale)
• Przykład 2: f(x) = −2x² + 8x − 3 w przedziale ⟨3, 5⟩ (wierzchołek poza przedziałem)
• Przykład 3: f(x) = −(x + 1)(x − 5) w przedziale ⟨0, 4⟩ (postać iloczynowa)
• Przykład 4: wyznaczanie współczynnika c, gdy znana jest wartość najmniejsza w przedziale
• Wzory, Spójrz inaczej, Wizualizacja: parabola i przedział, Symulacja: przesuwany przedział, Gra: gdzie jest ekstremum?
• Generator zadań: wierzchołek w przedziale i poza nim, postać kanoniczna i iloczynowa, argumenty, zadania zamknięte, prawda/fałsz, wyznaczanie c