Równania z wartością bezwzględną – metoda przedziałów

Równania z jedną lub dwiema wartościami bezwzględnymi. Podział osi liczbowej na przedziały.

Najważniejsze wzory i pojęcia

• |a| = a, gdy a ≥ 0, oraz |a| = −a, gdy a < 0
• |x − a| – odległość liczby x od liczby a na osi liczbowej
• |a · b| = |a| · |b|, np. |2x − 6| = 2|x − 3|
• Punkt krytyczny: miejsce zerowe wyrażenia pod wartością bezwzględną, np. x − 3 = 0 ⇔ x = 3
• n różnych punktów krytycznych dzieli oś liczbową na n + 1 przedziałów, np. (−∞, x₁), ⟨x₁, x₂), ⟨x₂, +∞)
• W każdym przedziale wartość bezwzględną opuszczamy zgodnie ze znakiem wyrażenia
• Wynik z przedziału jest rozwiązaniem tylko wtedy, gdy należy do tego przedziału
• Sprzeczność w przedziale – brak rozwiązań; tożsamość – rozwiązaniem jest cały przedział

Co zawiera lekcja

• Wprowadzenie: definicja wartości bezwzględnej, opuszczanie modułu, punkty krytyczne i algorytm metody przedziałów
• Przykład 1: |2x − 4| = x + 1
• Przykład 2: |x + 3| + 2x = 6
• Przykład 3: |x − 1| + |x + 2| = 7
• Przykład 4: |x + 1| − |x − 3| = 4
• Przykład 5: |2x − 6| − |x + 1| = x − 5
• Wzory potrzebne w lekcji
• Spójrz inaczej: moduł jako odległość, wykresy obu stron, tabela znaków
• Wizualizacja: oś liczbowa i znaki wyrażeń
• Symulacja: wykresy obu stron równania i liczba rozwiązań
• Gra: otwórz moduł
• Generator zadań z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku