MATEMATYKA 2018 MAJ MATURA STARA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Liczba 2log, 6— log, 4 jest równa A. 4 B. 2 C. 2log, 2 D. log, 8
Zadanie 2. (I pkt) Liczba | . EL jest równa 3 056 JB A, — B. 2 2421 v| w a|o
Zadanie 3. (I pkt) Dane są liczby a = 3,6-10* oraz b=2,4-10. Wtedy iloraz 8 jest równy A. 8,64-10? B. 1,5-10* C. 15-:10* D. 8,64-10*
Zadanie 4. (I pkt) Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował A. 865,00 zł B. 850,15 zł C. 1000,00 zł D. 977,50 zł
Zadanie 5. (I pkt) : : FEE |. x_1l. . Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności > 3 jest przedział al a. (> B. (aż c. (żre) | D. (Żaej 6 3 6 3
Zadanie 6. (I pkt) Funkcja kwadratowa określona jest wzorem /(x)=-2(x+3)(x-5). Liczby x, X są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. Xx +X =—8 B. xx +X7 =—2 C x1x+%9=2 D. 4x+%7=8
Zadanie 7. 6 pkt) +2x x —4 A. ma trzy rozwiązania: x=—2, x=0, x=2 Równanie =0 B. ma dwa rozwiązania: x=0, x=2 C. ma dwa rozwiązania: x=—2, x=2 D. ma jedno rozwiązanie: x=0
Zadanie 8. (I pkt) Funkcja liniowa f _ określona jest wzorem f (a)=3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P= [o z] B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0,—1). ) C. Funkcja / jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = [o wW|L D. Funkcja / jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P =(0,—
Zadanie 9. (I pkt) Wykresem funkcji kwadratowej /(x)=x*-6x—3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (-6,-3) B. (-6,69) C. (3,-12) D. (6,-3)
Zadanie 10. (I pkt) Liczba I jest miejscem zerowym funkcji liniowej / (x)=ax+b,a punkt M = (3,—2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy A. I B. ś G Ś D. -1 2 2
Zadanie 11. (I pkt) : : . 3— 2 : . Dany jest ciąg (a, ) jest określony wzorem a, = - dla m > 1. Ciąg ten jest arytmetyczny 1 jego rożnica jest rowna r=——. B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r =—2. C. geometryczny i jego iloraz jest równy q= a |. . . 5 D. geometryczny i jego iloraz jest równy q= rh
Zadanie 12. (I pkt) Dla ciągu arytmetycznego (a, ) , określonego dla n > 1, jest spełniony warunek a, +a, +a, =12. Wtedy A. a;,=4 B. a.=3 C. a,=6 D. a.=5
Zadanie 13. (I pkt) Dany jest ciąg geometryczny (a), określony dla n>1, wktórym a, =2, dy 4/2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać A. a,=(S2) B. a=
Zadanie 14. (I pkt)
Przyprostokątna ZM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma
długość 8 (zobacz rysunek). L
B kas
M K
Wówczas miara x kąta ostrego ZMK tego trójkąta spełnia warunek
A. 27 
Zadanie 15. (I pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości: 245, 3Ą5, 4/5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20 B. 20, 45, 80 Cc. 2, 43, N4 D. 45, 245, 34/5
Zadanie 16. (I pkt) Dany jest okrąg o środku $. Punkty K, Z 1 M leżą na tym okręgu. Na łuku KZ tego okręgu są oparte kąty KSZ i KML (zobacz rysunek), których miary a i /, spełniają warunek a+]B=1117. Wynika stąd, że A. a=74 B. a=76* Cc. a=709 D. a=72
Zadanie 17. (I pkt) Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL|=a, MN|=b, a > b. Kąt KLM ma miarę 60”. Długość ramienia ZM tego trapezu jest równa N b M A. a-b B. 2(a—b) a+b c. +15 D. 2
Zadanie 18. (I pkt) Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8), L=(—6,—8). Równanie tego okręgu ma postać A. x +y =200 B. x +y =100 C. x +y =400 D. x +y'=300
Zadanie 19. (I pkt) Proste o równaniach y=(m+2)x+3 oraz y=(2m—1)x—3 są równoległe, gdy A. m=2 B. m=3 C. m=0 D. m=l
Zadanie 20. (I pkt)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest
krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).
Kąt a, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek
A. a0=459 B. 45
Zadanie 21. (I pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 14. Kąt a, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 457 (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5 B. 34/2
Zadanie 22. (I pkt) Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa 4 A. > B. —nu* 3 3 r Cc. Żyó p. Lp ś 5 A
Zadanie 23. (I pkt) W zestawie 2, 2, 2,..., 2,4, 4, 4,.., 4 jest 2m liczb (m21l), w tym m liczb 2 i m liczb 4. m liczb m liczb Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe D. 2 A. 2 B. I c. l
Zadanie 24. (I pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5? A. 402 B. 403 c. 208 D. 204
Zadanie 25. (I pkt) W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z, tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe I 15 I 15 p. 5 A. ! . : 35 50 50 50
Zadanie 26. (2 pkt) OMC . a pa 2 Rozwiąż nierówność 2x —3x>5.
Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x —7x —4x+28=0.
Zadanie 28. (2 pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 11. 3 2a 2b a+b
Zadanie 29. (2 pkt) Okręgi o środkach odpowiednio 4 i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku 4 jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od J2-1.
Zadanie 30. (2 pkt) Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=a* (gdzie a>0 i aź1), należy punkt P=(2,9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)= f(x)-2.
Zadanie 31. (2 pkt) Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a, ), określonego dla n > I, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zadanie 32. (5 pkt) W układzie współrzędnych punkty 4=(4,3) i B= (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x +3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Zadanie 33. (4 pkt) Dane są dwa zbiory: A=4100, 200, 300, 400, 500, 600,700) i B=410,11,12,13,14,15,16). Z, każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zadanie 34. (4 pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 4543 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa. F
MATEMATYKA 2018 MAJ MATURA STARA PODSTAWOWA
Zadanie 1. (I pkt) Liczba 2log, 6— log, 4 jest równa A. 4 B. 2 C. 2log, 2 D. log, 8
Zadanie 2. (I pkt) Liczba | . EL jest równa 3 056 JB A, — B. 2 2421 v| w a|o
Zadanie 3. (I pkt) Dane są liczby a = 3,6-10* oraz b=2,4-10. Wtedy iloraz 8 jest równy A. 8,64-10? B. 1,5-10* C. 15-:10* D. 8,64-10*
Zadanie 4. (I pkt) Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował A. 865,00 zł B. 850,15 zł C. 1000,00 zł D. 977,50 zł
Zadanie 5. (I pkt) : : FEE |. x_1l. . Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności > 3 jest przedział al a. (> B. (aż c. (żre) | D. (Żaej 6 3 6 3
Zadanie 6. (I pkt) Funkcja kwadratowa określona jest wzorem /(x)=-2(x+3)(x-5). Liczby x, X są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. Xx +X =—8 B. xx +X7 =—2 C x1x+%9=2 D. 4x+%7=8
Zadanie 7. 6 pkt) +2x x —4 A. ma trzy rozwiązania: x=—2, x=0, x=2 Równanie =0 B. ma dwa rozwiązania: x=0, x=2 C. ma dwa rozwiązania: x=—2, x=2 D. ma jedno rozwiązanie: x=0
Zadanie 8. (I pkt) Funkcja liniowa f _ określona jest wzorem f (a)=3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P= [o z] B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0,—1). ) C. Funkcja / jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = [o wW|L D. Funkcja / jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P =(0,—
Zadanie 9. (I pkt) Wykresem funkcji kwadratowej /(x)=x*-6x—3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (-6,-3) B. (-6,69) C. (3,-12) D. (6,-3)
Zadanie 10. (I pkt) Liczba I jest miejscem zerowym funkcji liniowej / (x)=ax+b,a punkt M = (3,—2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy A. I B. ś G Ś D. -1 2 2
Zadanie 11. (I pkt) : : . 3— 2 : . Dany jest ciąg (a, ) jest określony wzorem a, = - dla m > 1. Ciąg ten jest arytmetyczny 1 jego rożnica jest rowna r=——. B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r =—2. C. geometryczny i jego iloraz jest równy q= a |. . . 5 D. geometryczny i jego iloraz jest równy q= rh
Zadanie 12. (I pkt) Dla ciągu arytmetycznego (a, ) , określonego dla n > 1, jest spełniony warunek a, +a, +a, =12. Wtedy A. a;,=4 B. a.=3 C. a,=6 D. a.=5
Zadanie 13. (I pkt) Dany jest ciąg geometryczny (a), określony dla n>1, wktórym a, =2, dy 4/2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać A. a,=(S2) B. a=
Zadanie 14. (I pkt) Przyprostokątna ZM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). L B kas M K Wówczas miara x kąta ostrego ZMK tego trójkąta spełnia warunek A. 27 <a<30* B. 24<a<27 Cc. 21 <a<24 D. I8”<a<21"
Zadanie 15. (I pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości: 245, 3Ą5, 4/5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20 B. 20, 45, 80 Cc. 2, 43, N4 D. 45, 245, 34/5
Zadanie 16. (I pkt) Dany jest okrąg o środku $. Punkty K, Z 1 M leżą na tym okręgu. Na łuku KZ tego okręgu są oparte kąty KSZ i KML (zobacz rysunek), których miary a i /, spełniają warunek a+]B=1117. Wynika stąd, że A. a=74 B. a=76* Cc. a=709 D. a=72
Zadanie 17. (I pkt) Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL|=a, MN|=b, a > b. Kąt KLM ma miarę 60”. Długość ramienia ZM tego trapezu jest równa N b M A. a-b B. 2(a—b) a+b c. +15 D. 2
Zadanie 18. (I pkt) Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8), L=(—6,—8). Równanie tego okręgu ma postać A. x +y =200 B. x +y =100 C. x +y =400 D. x +y'=300
Zadanie 19. (I pkt) Proste o równaniach y=(m+2)x+3 oraz y=(2m—1)x—3 są równoległe, gdy A. m=2 B. m=3 C. m=0 D. m=l
Zadanie 20. (I pkt) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt a, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. a0=459 B. 45 <a<609 C. a>60 D. a=60
Zadanie 21. (I pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 14. Kąt a, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 457 (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5 B. 34/2
Zadanie 22. (I pkt) Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa 4 A. > B. —nu* 3 3 r Cc. Żyó p. Lp ś 5 A
Zadanie 23. (I pkt) W zestawie 2, 2, 2,..., 2,4, 4, 4,.., 4 jest 2m liczb (m21l), w tym m liczb 2 i m liczb 4. m liczb m liczb Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe D. 2 A. 2 B. I c. l
Zadanie 24. (I pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5? A. 402 B. 403 c. 208 D. 204
Zadanie 25. (I pkt) W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z, tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe I 15 I 15 p. 5 A. ! . : 35 50 50 50
Zadanie 26. (2 pkt) OMC . a pa 2 Rozwiąż nierówność 2x —3x>5.
Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x —7x —4x+28=0.
Zadanie 28. (2 pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 11. 3 2a 2b a+b
Zadanie 29. (2 pkt) Okręgi o środkach odpowiednio 4 i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku 4 jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od J2-1.
Zadanie 30. (2 pkt) Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=a* (gdzie a>0 i aź1), należy punkt P=(2,9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)= f(x)-2.
Zadanie 31. (2 pkt) Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a, ), określonego dla n > I, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zadanie 32. (5 pkt) W układzie współrzędnych punkty 4=(4,3) i B= (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x +3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.
Zadanie 33. (4 pkt) Dane są dwa zbiory: A=4100, 200, 300, 400, 500, 600,700) i B=410,11,12,13,14,15,16). Z, każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zadanie 34. (4 pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 4543 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa. F