Granice ciągów – pierwiastki i twierdzenie o trzech ciągach
Granice typu √(n² + n) − n i mnożenie przez sprzężenie. Twierdzenie o trzech ciągach.
Najważniejsze wzory i pojęcia
- ∞ − ∞ to symbol nieoznaczony
- (a − b)(a + b) = a² − b²
- √A − B = (A − B²) / (√A + B)
- √A − √B = (A − B) / (√A + √B)
- lim (√(k²n² + pn + q) − kn) = p / (2k)
- lim c/n = 0, lim ⁿ√c = 1 dla c > 0
- twierdzenie o trzech ciągach: jeżeli aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ oraz lim aₙ = lim cₙ = g, to lim bₙ = g
- −1 ≤ sin n ≤ 1, −1 ≤ cos n ≤ 1, −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1
- lim ⁿ√(aⁿ + bⁿ) = b dla 0 < a ≤ b
Co zawiera lekcja
- Wprowadzenie: symbol ∞ − ∞, sprzężenie, twierdzenie o trzech ciągach
- Przykład 1: lim (√(n² + 6n) − n) = 3
- Przykład 2: lim (√(n² + 3n) − √(n² − n)) = 2
- Przykład 3: lim (3n + cos n)/(n + 2) = 3
- Przykład 4: lim ⁿ√(2ⁿ + 5ⁿ) = 5
- Wzory
- Spójrz inaczej: dopełnianie do kwadratu, twierdzenie o dwóch policjantach
- Wizualizacja wyrazów ciągu √(n² + pn + q) − n
- Wizualizacja: kwadrat o polu n² + pn
- Symulacja twierdzenia o trzech ciągach
- Gra: wyścig granic
- Generator zadań z rozwiązaniami krok po kroku