Dzielenie z resztą i zapis liczb całkowitych

Zapis liczby w postaci a = bq + r. Liczby parzyste, nieparzyste, kolejne liczby i reszty z dzielenia.

Najważniejsze wzory i pojęcia

• a = b · q + r, gdzie 0 ≤ r < b (q – iloraz niepełny, r – reszta z dzielenia)
• dla liczb ujemnych: −17 = 5 · (−4) + 3, bo reszta nie może być ujemna
• liczba parzysta: 2k, liczba nieparzysta: 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą
• kolejne liczby całkowite: n, n + 1, n + 2; kolejne parzyste: 2k, 2k + 2; kolejne nieparzyste: 2k + 1, 2k + 3
• liczba dająca resztę r z dzielenia przez b: b · k + r
• podzielność: b | a, gdy a = b · k (reszta równa 0)
• reszta sumy i iloczynu: a + c ma taką resztę jak r₁ + r₂, a a · c taką jak r₁ · r₂
• (2k + 1)² = 4k(k + 1) + 1 – kwadrat liczby nieparzystej daje resztę 1 z dzielenia przez 8

Co zawiera lekcja

• Wprowadzenie: dzielenie z resztą liczb dodatnich i ujemnych, parzystość sumy i iloczynu
• Przykład 1: dzielenie z resztą liczb 47 i −47 przez 6
• Przykład 2: reszta z dzielenia liczb 2a + 5 i a² przez 7
• Przykład 3: suma trzech kolejnych liczb całkowitych i dowód podzielności przez 3
• Przykład 4: dowód, że n² − 1 dzieli się przez 8 dla nieparzystego n
• Wzory i spojrzenie na temat z innej strony
• Wizualizacja na osi liczbowej i symulacja „zegar reszt”
• Gra „Reszta na czas”
• Generator zadań z podpowiedziami i rozwiązaniami krok po kroku